I gruppi ciclici sono un sottoinsieme di tutti i gruppi con una struttura particolarmente semplice da capire . In particolare , i gruppi ciclici possono essere rappresentati da una serie di numeri con aritmetica modulare . Ad esempio, Z15 può essere formato dai numeri da 0 a 14, con 16 pari a 1 , 17 pari a 2 e così via . Questi gruppi ciclici hanno una matematica tutta loro . Una domanda particolarmente interessante , che produce intuizioni profonde lezioni di matematica universitari , è ciò che sottoinsiemi di questi gruppi formano gruppi stessi . Istruzioni
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Factor l'ordine del vostro gruppo . Ad esempio , se il gruppo dispone di 18 elementi , il suo ordine è 18 : 18 = 2 x 3 x 3 Se il gruppo dispone di 30 elementi , il suo ordine è 30 : 2 x 3 x 5
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Determinare tutti i possibili numeri che possono dividere equamente nell'ordine del gruppo , basati sulla fattorizzazione fatto nella Fase 1 in un gruppo di ordine 18 , questo darebbe 2 , 3 , 6 e 9 in un gruppo di ordine 30 , questo dà 2 , 3 , 5 , 6 , 10 e 15
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Capire che ogni sottogruppo del vostro gruppo ciclico deve essere dell'ordine di un fattore di ordine del vostro gruppo principale. Ad esempio , per il gruppo ciclico di ordine 18 , un sottogruppo proprio --- o un sottogruppo che è più grande di un elemento e minore di 18 elementi --- deve essere di ordine 2 , 3 , 6 o 9 , in quanto questi sono i solo i numeri che possono fattore in 18 Inoltre, ogni sottogruppo di un sottogruppo di un gruppo ciclico devono essere di per sé un gruppo ciclico .
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Trova il più piccolo elemento di ciascuno dei numeri trovati nella Fase 2 . nel gruppo di ordine 18 in aggiunta , 2 è il più piccolo elemento di ordine 9 ( dal 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 ) , 3 è il più piccolo elemento di ordine 6 ( dal 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 ) , 6 è il più piccolo elemento di ordine 3 ( dal 6 + 6 + 6 = 18 ) e 9 è il più piccolo elemento di ordine 2 ( dal 9 + 9 = 18 ) .
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Determinare i sottogruppi formati da questi elementi . Nel gruppo ciclico di ordine 18 , il sottogruppo generato dal 2 è il gruppo { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 } . Il sottogruppo generato da 3 è il gruppo { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } , e quello generato da 6 è { 0 , 6 , 12 } . Il sottogruppo ciclico di ordine 2 è il gruppo { 0 , 9 } . Grazie alla combinazione di proprietà discusse al punto 3 , c'è sempre esattamente un sottogruppo di un gruppo ciclico per ogni numero che può dividere equamente nell'ordine del gruppo .