il rango di un sistema di equazioni lineari è il numero di righe o colonne della matrice dei coefficienti di tale sistema linearmente indipendenti . La matrice dei coefficienti è una griglia di numeri che precedono le variabili di sistema . Nel nostro esempio , la matrice dei coefficienti potrebbe essere:
4 5
4 -2
Per una riga ( o colonna ) siano linearmente indipendenti di un'altra riga ( o colonna ) , deve essere il caso che una riga ( o colonna) non possono essere prodotte da una combinazione lineare di un'altra riga ( o colonna ) . Non si dovrebbe essere in grado di più tutti gli elementi della riga 1 da un unico numero per ottenere riga 2 Si può vedere che tutte le colonne nel nostro esempio coefficienti di matrice sono linearmente indipendenti in quanto non esiste un numero unico che ci permetterebbe di moltiplicare 4 per ottenere 5 e -2 . Si può anche vedere che le righe nel nostro esempio matrice sono linearmente indipendenti . Non esiste un unico numero che, quando moltiplicato per 4 produce 4 , e quando moltiplicato per 5 produce -2 . Ciò significa che la posizione del nostro sistema esempio è 2.
La matrice aumentata è una combinazione della matrice dei coefficienti e il vettore soluzione . Nel nostro esempio la matrice aumentata sarebbe:
4 5 1
4 -2 2
Perché questa matrice ha due righe, il valore più alto il rango della matrice aumentata può eventualmente essere è 2. Pertanto , per questo esempio , il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice dei coefficienti .
Estensione del sistema
Nel nostro esempio il sistema di equazioni , ci sono solo due variabili . Le equazioni descrivono rette nello spazio bidimensionale . Se dovessimo aggiungere un altro insieme di variabili delle equazioni sarebbero descrivono gli aerei in uno spazio tridimensionale . Questo può essere estesa a più dimensioni . Invece di pensare in termini di sistemi con un numero particolare di variabili , possiamo pensare in termini di un sistema generico con n variabili . Questo ci permette di classificare le proprietà generali di tutti i sistemi di equazioni indipendentemente dal numero di variabili nel sistema .
Nessuna soluzione
Se il rango di la matrice dei coefficienti non è uguale al rango della matrice aumentata , non c'è soluzione . Non vi è alcun set unico di valori che soddisfa i requisiti descritti nel sistema di equazioni . Il sistema di equazioni non può essere risolto . Se il sistema non può essere risolto , il sistema è detto di essere incoerente .
Una soluzione unica
C'è un solo , unico insieme di soluzioni per il sistema di equazioni se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice aumentata e sono entrambi pari al numero di colonne della matrice di coefficienti . Vi è un unico insieme di valori che soddisfa i requisiti descritti dal sistema di equazioni . Se c'è una soluzione unica , il sistema è detto di essere indipendente .
Un infinito numero di soluzioni
Il sistema di equazioni ha un numero infinito di soluzioni , se i rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice aumentata e sono entrambi a meno che il numero di righe della matrice dei coefficienti . Thiere è un infinitamente grande insieme di valori che soddisfano i requisiti descritti dal sistema di equazioni . Se ci sono un numero infinito di soluzioni , il sistema è detto di essere dipendente .